药店员工不可以拿着店里的牙膏到街上卖，即使不是私自行为也不行。下面我来详细解释一下：

首先，从法律角度来看，药店员工拿着店里的牙膏到街上卖，涉及到几个关键问题：一是商品的所有权，二是销售行为的合法性，三是劳动关系的约束。

1. 商品所有权：药店里的牙膏属于药店的财产，员工并没有所有权。即使员工不是私自行为，比如说是得到了药店的某种形式的授权或同意，但这种行为仍然可能违反药店的内部管理规定，甚至可能构成对药店财产的非法处置。

2. 销售行为的合法性：在街上卖牙膏，需要遵守相关的市场监管法规，比如需要办理相应的营业执照、税务登记等手续。如果员工没有这些手续，那么他的销售行为就是违法的。此外，即使员工有手续，但如果他是在未经药店同意的情况下进行销售，那么他也可能构成对药店商业利益的侵害。

3. 劳动关系的约束：作为药店的员工，他的行为受到劳动关系的约束。药店有权对员工的工作行为进行管理，包括禁止员工从事与药店业务无关的活动。如果员工擅自拿着药店的商品到街上卖，那么他就可能违反了劳动合同的约定，药店有权对其进行相应的处理。

综上所述，药店员工拿着店里的牙膏到街上卖是不合法的，也是不符合劳动关系的约束的。即使员工声称不是私自行为，也需要得到药店的明确授权和遵守相关的法律法规。因此，我建议药店员工不要进行这样的行为，以免给自己和药店带来不必要的法律风险和纠纷。