不可以，区政府委托街道办事处为责任单位时，应当出具委托书。以下是对此问题的详细分析：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，委托代理授权应当采用书面形式，授权委托书应当载明代理人的姓名或者名称、代理事项、权限和期限，并由被代理人签名或者盖章。
   • 在行政法中，虽然对委托的形式要求可能不如民法那么严格，但出于行政行为的公开、透明以及可追溯性原则，委托书仍然是必要的法律文书。

2. 委托书的必要性：

   • 明确权责：委托书能够明确委托人和受托人的权利义务，确保双方在委托关系中的行为有明确的法律依据。
   • 法律效力：委托书是受托人行使委托权限的法律依据，没有委托书，受托人的行为可能无法被认定为是代表委托人的行为，从而引发法律纠纷。
   • 行政监督：委托书也是行政监督的重要依据，有助于上级机关或相关部门对委托行为的合法性和合规性进行审查。

3. 实践中的操作：

   • 在实际操作中，区政府作为行政机关，在委托街道办事处承担某项责任或任务时，应当出具正式的委托书，明确委托事项、权限和期限，并加盖区政府的公章。
   • 街道办事处作为受托方，在接收到委托书后，应当按照委托书的规定行使权限，并承担相应的责任。

综上所述，区政府委托街道办事处为责任单位时，应当出具委托书，以确保委托关系的合法性、明确性和可追溯性。如果区政府未出具委托书而直接委托街道办事处承担责任，可能会引发法律纠纷和行政监督的问题。因此，建议区政府在委托街道办事处时，务必出具正式的委托书。