出租车门没有关好就开动发生事故，责任需根据具体情况分析后确定。下面我将分情况详细阐述：
一. 乘客责任
- 未确保车门关好：如果乘客在乘车过程中，未能确保车门完全关闭就示意司机开车，导致车门未关好而发生事故，乘客可能需要承担一定的责任。因为乘客有义务在乘车前确保车门的安全关闭。- 例如，乘客匆忙上车，未检查车门是否关紧，就告诉司机可以出发了，结果车门在行驶中打开导致事故。
二. 司机责任
- 检查车门责任：作为出租车的驾驶员，司机在启动车辆前有义务检查车门是否关好，以确保行车安全。如果司机未能履行这一职责，导致车门未关好而发生事故，司机应承担相应的责任。- 例如，司机看到乘客上车后，没有检查车门是否关紧就直接启动车辆，结果车门在行驶中突然打开，造成事故。
三. 共同责任
- 双方疏忽：在某些情况下，如果乘客和司机都未能注意到车门未关好，或者都认为对方已经检查过了，导致事故发生，那么双方可能都需要承担一定的责任。- 例如，乘客以为司机会检查车门，而司机也以为乘客已经关好了车门，结果双方都没有检查，导致车门在行驶中打开。
四. 第三方责任
- 其他交通参与者：如果事故的发生是由于其他交通参与者的过错，如另一辆车违规行驶导致与出租车发生碰撞，那么责任可能主要由该第三方承担。
我建议，在发生此类事故后，应首先报警并寻求专业的交通事故调查。根据事故调查报告、证人证言以及相关证据，可以更加准确地判断责任归属。同时，对于受伤者而言，应及时就医并保留好相关医疗记录，以便后续维权。如有进一步需要，您可以继续咨询我。