故意教唆多名未成年人买烟是违法的，并且可能会受到相应的法律处罚。

首先，根据相关规定，向未成年人出售烟草制品是违法的，市场监督管理部门有权责令改正并罚款。而教唆未成年人购买烟草制品，情节严重的，可能涉嫌共同违法，市场监督管理部门会依法从重处罚。

其次，这一行为还违反了《未成年人保护法》中禁止向未成年人销售烟酒的规定。相关部门能对责任主体实施警告、没收违法所得以及罚款等处罚手段。如果情节恶劣且造成严重后果，甚至可能面临吊销营业执照等更严厉的法律制裁。

此外，如果因教唆未成年人买烟导致未成年人吸烟成瘾等不良后果，教唆者还需承担相应的民事赔偿责任，赔偿未成年人因吸烟导致的健康损害等费用。

综上所述，故意教唆多名未成年人买烟是违法的，并且可能会面临多重法律责任，包括行政处罚、民事赔偿等。因此，建议遵守相关法律法规，不要教唆未成年人购买烟草制品，以保护未成年人的健康成长。