在驾车过程中，如果遭遇被撞且肇事车辆逃逸的情况，责任的承担涉及多个方面，以下是对此问题的详细解答：
一、民事赔偿责任
逃逸者的责任：
- 根据相关法律法规，如《道路交通事故处理程序规定》及《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》，在发生交通事故后逃逸的，逃逸方通常需承担全部责任。这是因为逃逸行为本身即显示出逃逸者有逃避法律后果的意图，且可能破坏事故现场，导致责任难以认定。
- 但若受害者一方也有过错，例如未遵守交通规则等，且能提供相关证据，那么逃逸方的责任可能会适当减轻，但逃逸方仍需承担主要赔偿责任。
保险公司的责任：
- 交强险：肇事逃逸并非交强险的免责事由。根据《机动车交通事故责任强制保险条例》，保险公司需在交强险责任限额内（如医疗费用赔偿限额、死亡伤残赔偿限额、财产损失赔偿限额等）对受害人进行赔偿。
- 商业险：商业第三者责任险通常将肇事逃逸列为免责条款。但如果保险公司在签订合同时未明确说明该条款，或者该条款因违反法律法规而无效，那么保险公司可能仍需承担赔偿责任。不过，具体的赔偿情况还需根据保险合同的约定和保险公司的政策来确定。
二、刑事责任
如果肇事逃逸行为构成犯罪，如交通肇事罪，那么逃逸者将面临刑事处罚。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，违反交通运输管理法规导致重大事故，致人重伤、死亡或造成重大财产损失的，可能处三年以下有期徒刑或拘役。肇事后逃逸或有特别恶劣情节的，可能处三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，可能处七年以上有期徒刑。
三、行政责任
对于肇事逃逸行为，即使不构成犯罪，逃逸者也可能面临行政处罚。根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，造成交通事故后逃逸尚不构成犯罪的，公安机关交通管理部门可以处二百元以上二千元以下罚款，并可并处十五日以下拘留。同时，逃逸者的驾驶证将被吊销，且终生不得重新取得。
四、实际操作建议
- 保护现场与报警：在发生交通事故后，无论对方是否逃逸，都应立即停车、保护现场、抢救受伤人员并迅速报警。这是保护自身权益和避免进一步法律责任的重要步骤。
- 收集证据：尽可能收集现场证据，如监控录像、目击者证言等，以便后续维权。
- 法律途径维权：若无法直接找到逃逸者或逃逸者拒绝承担责任，受害者可以通过法律途径维权，包括向法院提起诉讼或向保险公司申请理赔等。
综上所述，驾车被撞且肇事车辆逃逸时，责任的承担涉及多个方面，包括逃逸者的民事赔偿责任、可能的刑事责任和行政处罚，以及保险公司的赔偿责任（特别是交强险）。受害者应通过多种法律途径维护自身权益，并尽可能收集证据以便后续处理。