担保人在承担责任后，确实有权起诉追偿权和赔偿损失。以下是对这一问题的详细分析：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第七百条，保证人承担保证责任后，除当事人另有约定外，有权在其承担保证责任的范围内向债务人追偿，享有债权人对债务人的权利，但是不得损害债权人的利益。
   • 同时，《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉有关担保制度的解释》也明确了相关担保制度的规定，为担保人的追偿权提供了法律支持。

2. 追偿权行使方式：

   • 担保人承担责任后，可以通过诉讼程序或直接申请强制执行两种方式行使追偿权。
   • 若原判决已明确追偿权且责任清晰，担保人可优先选择直接申请执行；若存在责任分担争议或需追加第三人，则应通过诉讼程序主张权利。

3. 诉讼程序：

   • 当追偿权存在争议，如责任分担不清或需司法确认优先受偿顺序时，担保人必须通过诉讼程序来解决。
   • 诉讼程序中，担保人需要提供代偿凭证及责任划分依据，并可能面临败诉风险。

4. 直接申请强制执行：

   • 若原生效文书已确认追偿权，且追偿对象与原债务人一致，担保人可直接申请强制执行。
   • 执行时需提交原生效文书及代偿证明，若追偿对象为第三方（如反担保人），则仍需另案起诉。

5. 赔偿损失：

   • 在追偿过程中，若担保人因债务人的违约行为而遭受损失，如利息损失、律师费等，均有权要求债务人赔偿。
   • 赔偿损失的范围和数额应根据实际情况和法律规定来确定。

综上所述，担保人在承担责任后，确实有权通过诉讼程序或直接申请强制执行的方式行使追偿权，并有权要求债务人赔偿因违约行为而造成的损失。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。