在代位权诉讼中，债务人并不享有申请抗诉的权利，但次债务人可以主张对债务人的抗辩。具体分析如下：

一. 代位权诉讼中的主体与权利

1. 代位权诉讼的主体：代位权诉讼主要涉及三个主体，即债权人、债务人和次债务人。债权人因债务人怠于行使其债权而向法院提起代位权诉讼，要求次债务人直接向其履行债务。
2. 债务人的地位：在代位权诉讼中，债务人并非诉讼的当事人，而是处于被代位的地位。因此，债务人并不直接参与诉讼过程，也不享有诉讼中的权利，包括申请抗诉的权利。

二. 次债务人的抗辩权

1. 抗辩权的来源：根据《中华人民共和国民法典》第五百三十五条的规定，相对人（即次债务人）对债务人的抗辩，可以向债权人主张。这意味着次债务人在代位权诉讼中享有对债权人的抗辩权。
2. 抗辩权的内容：次债务人可以基于与债务人之间的法律关系，对债权人的代位权主张提出抗辩。例如，如果次债务人认为债务人的债权并不存在或已经消灭，或者认为债权人的代位权行使范围超出了其到期债权的范围，次债务人都可以向法院提出抗辩。

三. 结论

• 在代位权诉讼中，债务人并不享有申请抗诉的权利，因为其并非诉讼的当事人。
• 相反，次债务人作为诉讼的被告，享有对债权人的抗辩权，可以基于与债务人之间的法律关系对债权人的代位权主张提出抗辩。

综上所述，代位权诉讼中的债务人并不享有申请抗诉的权利。如有进一步需要，您可以继续咨询我。