当民事抗诉检察院不予支持时，并不意味着当事人的法律救济途径就此终结。以下是我为您详细梳理的应对策略：

1. 申请复议：

   • 在收到不支持抗诉决定书后的10日内，当事人有权向作出该决定的检察院申请复议。
   • 复议是法律赋予当事人的一项重要权利，通过复议，当事人可以再次阐述自己的观点和理由，请求检察院重新审查案件。

2. 提请复核：

   • 若对复议结果仍不满意，当事人可以向上一级检察院提请复核。
   • 上一级检察院将对案件进行更为深入的审查，以确保决定的公正性和合法性。

3. 向法院申请再审：

   • 当事人还可以考虑向法院申请再审，特别是在民事案件中。
   • 申请再审时，当事人需要提供新的证据或对原有证据进行补充和完善，以增强自己主张的合理性。
   • 法院在审理再审申请时，会对案件进行全面审查，包括原审判决的合法性、证据的充分性等方面。

4. 仔细研究不支持抗诉的理由：

   • 当事人应仔细研究检察院不支持抗诉的理由，分析是否存在可以进一步补充或完善证据的地方。
   • 通过深入剖析不支持抗诉的理由，当事人可能找到新的法律救济途径或增强自己主张的合理性的方法。

综上所述，虽然检察院不支持抗诉，但当事人仍有多种途径可以维护自己的合法权益。我建议当事人积极采取行动，充分利用各种法律资源，为自己争取应有的权益。如果您在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。