美容院被客户投诉时，商家应通过合法途径来应对和维权，以下是具体的建议：

一. 了解投诉内容，积极应对

1. 详细记录投诉内容：包括投诉的具体事项、时间、地点、涉及的服务或产品等，以便后续分析和处理。
2. 及时回应客户：在收到投诉后，应尽快与客户取得联系，表达对此事的重视，并告知将尽快调查处理。

二. 内部自查，核实情况

1. 核查服务记录：检查与客户投诉相关的服务记录，包括服务流程、使用的产品、服务人员的操作等，以确定是否存在问题。
2. 与客户沟通：在核实情况的过程中，可再次与客户沟通，了解更详细的投诉原因和诉求，同时也可尝试寻求和解。

三. 依据事实，合理处理

1. 若确实存在问题：
   • 承认错误并道歉：如经核实确实存在服务或产品问题，应向客户承认错误，并表达诚挚的歉意。
   • 提出解决方案：根据问题的具体情况，提出合理的解决方案，如退款、重新提供服务、给予补偿等。
2. 若不存在问题或存在争议：
   • 解释说明：向客户详细解释服务或产品的相关情况，以及为何认为投诉不成立或存在争议。
   • 提供证据：如有必要，可提供相关证据来支持自己的观点，如服务记录、产品合格证明等。

四. 依法维权，保护自身权益

1. 防止恶意投诉：如遇客户恶意投诉或勒索，应坚决维护自身权益，必要时可寻求法律援助或报警处理。
2. 保留证据：在处理投诉过程中，应保留好所有相关的证据，如沟通记录、服务记录、产品证明等，以备不时之需。

五. 持续改进，提升服务质量

• 分析总结：对每次投诉进行分析总结，找出问题的根源，以便持续改进服务质量和产品性能。
• 培训员工：加强对员工的培训和教育，提高员工的服务意识和专业技能，减少类似问题的发生。

我建议：美容院在面对客户投诉时，应保持冷静和理性，积极应对并合理处理。同时，也应注重提升自身的服务质量和产品性能，以减少投诉的发生。如有进一步需要，您可以继续咨询我。