关于“法院调解后第一个月就不还款是否可以申请强制执行”的问题，以下是我的详细解答：

一、调解协议的法律效力及履行期限

首先，要明确的是，法院调解达成的协议具有法律上的约束力，相当于双方签订了一份具有法律效力的合同。因此，如果一方未按照调解协议约定的期限履行还款义务，另一方是有权向法院申请强制执行的。

然而，关键的一点在于不能马上申请强制执行。根据法律规定，通常要等调解协议约定的履行期限届满后，如果对方仍未履行，此时才可以向法院提交强制执行申请。这是为了确保申请的合法性以及给对方一个合理的履行期限。

二、申请强制执行的条件和流程

1. 条件：

   • 调解协议约定的履行期限届满；
   • 对方未按照协议履行还款义务。

2. 流程：

   • 准备相关材料：包括调解协议、强制执行申请书等；
   • 向法院提交申请：将准备好的材料提交给有管辖权的法院；
   • 法院受理并审查：法院会对申请进行审查，确认申请符合法律规定；
   • 采取执行措施：如果申请被批准，法院会采取一系列执行措施，如查询、冻结、划拨对方财产等，以促使其履行还款义务。

三、申请强制执行的期限

需要注意的是，申请强制执行是有一定的期限限制的。根据《中华人民共和国民事诉讼法》的规定，申请执行的期间通常为两年。这个期限从法律文书（如调解书）规定履行期间的最后一日起计算。如果调解书规定分期履行，则从最后一期履行期限届满之日起计算。因此，在对方未履行还款义务的情况下，务必在规定的期限内及时申请强制执行，以保障自身的合法权益。

四、执行过程中可能遇到的问题及应对

在执行过程中，可能会遇到一些困难，如对方隐匿财产、无财产可供执行等。此时，申请人可以配合法院提供对方的财产线索，或者通过法院持续关注对方的财产状况。一旦发现对方有可供执行的财产，就可以随时申请恢复执行。

综上所述，法院调解后第一个月就不还款是不能马上申请强制执行的，需要等待调解协议约定的履行期限届满后才可以申请。同时，申请强制执行需要符合一定的条件，并按照规定的流程进行。务必在规定的期限内及时申请，以确保自身的合法权益得到有效保障。