总公司对分公司的债务承担连带责任，而非补充责任。以下是对此结论的详细分析：
一. 总公司与分公司的法律关系
分公司的法律地位：根据《中华人民共和国公司法》第十四条，公司可以设立分公司，但分公司不具有法人资格，其民事责任由公司承担。这表明分公司是总公司的一部分，其法律后果由总公司负责。
连带责任的法律依据：由于分公司不具有法人资格，其在经营过程中产生的民事责任，包括债务，均由总公司承担。这种责任是连带责任，即分公司无力偿还债务时，总公司有代偿的法定义务。
二. 连带责任与补充责任的区别
连带责任：指两个或两个以上的债务人共同对债务承担责任，债权人可以要求任何一个债务人承担全部债务。在本案例中，总公司与分公司之间的连带责任意味着债权人可以直接要求总公司偿还分公司的债务。
补充责任：指在主债务人无力偿还债务时，由补充责任人承担剩余债务的责任。但在总公司与分公司的关系中，并不存在这种先后顺序，总公司直接对分公司的债务承担责任。
三. 实践中的应用
债权人的权益保护：连带责任确保了债权人的权益得到充分保护。当分公司无法偿还债务时，债权人可以直接向总公司追索，无需先向分公司主张债权。
总公司的责任承担：总公司需对分公司的经营行为及其法律后果负责，这促使总公司在设立和管理分公司时更加谨慎和规范，以降低潜在的法律风险。
综上所述，总公司对分公司的债务承担连带责任，这是由分公司的法律地位和总公司与分公司之间的法律关系所决定的。这种责任承担方式有助于保护债权人的合法权益，也促使总公司加强内部管理和监督，确保分公司的合规经营和稳健发展。如有进一步需要，您可以继续咨询我。