当民事案件在审理过程中被发现可能涉及刑事犯罪时，法院会遵循一定的法律程序来处理这种情况。以下是对此问题的详细解答：
首先，根据《最高人民法院关于在审理经济纠纷案件中涉及经济犯罪嫌疑若干问题的规定》，如果在民事案件的审理过程中，法院发现该案件并不属于经济纠纷，而是有经济犯罪嫌疑，那么法院应当裁定驳回起诉。同时，法院会将涉及犯罪的线索、材料等移送至公安机关或者检察机关，以便他们进行进一步的刑事侦查和起诉。
具体来说，这一流程可能包括以下几个步骤：
法院审查：法院在审理民事案件时，如果发现案件可能涉及刑事犯罪，会首先对案件进行仔细审查，以确认是否存在刑事犯罪的嫌疑。
驳回起诉：如果经过审查，法院认为案件确实存在刑事犯罪嫌疑，那么会裁定驳回原告的民事起诉。这意味着民事案件将不再继续审理，而是转入刑事程序。
移送材料：法院在驳回起诉的同时，会将涉及犯罪的线索、材料等移送至公安机关或者检察机关。这些材料可能包括案件的相关证据、当事人的陈述、法院的审查意见等。
刑事侦查与起诉：公安机关或者检察机关在收到法院移送的材料和线索后，会进行进一步的刑事侦查和起诉工作。如果经过侦查和起诉，确认存在刑事犯罪行为，那么犯罪嫌疑人将会面临相应的刑事责任。
此外，对于原告来说，如果其民事权益因刑事犯罪行为而受到损害，可以在刑事案件处理完毕后，根据相关规定提起民事诉讼来维护自己的权益。
综上所述，当民事案件在审理过程中被发现可能涉及刑事犯罪时，法院会依法裁定驳回起诉，并将案件移送至公安机关或者检察机关进行处理。这一流程旨在确保案件的公正、合法处理，同时保护当事人的合法权益。