死亡人已经立遗嘱的情况下，私生子确实有可能享有同等的继承权利，但这取决于遗嘱的具体内容。以下是对这一问题的详细分析：

1. 法律地位与继承权：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千零七十一条，非婚生子女（即私生子）享有与婚生子女同等的权利，包括继承权。这意味着，在法定继承的情况下，私生子与婚生子女处于相同的法律地位。

2. 遗嘱的影响：

   • 如果死亡人生前立有遗嘱，并且遗嘱中明确规定了私生子的继承份额，那么私生子将按照遗嘱的内容继承相应的遗产。
   • 如果遗嘱中没有提及私生子，或者明确排除了私生子的继承权，那么私生子将无法依据遗嘱继承遗产。但此时，他仍然可以依据法定继承的规定，与其他第一顺序继承人共同继承遗产（前提是没有其他有效遗嘱或遗赠扶养协议等改变法定继承的情况）。

3. 继承权的实现：

   • 无论私生子是否依据遗嘱继承，他都需要提供能够证明其与被继承人存在亲子关系的有效证据，如出生证明、亲子鉴定报告等。
   • 在继承过程中，如果私生子的继承权受到侵害，他有权通过法律途径维护自己的合法权益。

综上所述，死亡人已经立遗嘱的情况下，私生子是否享有同等的继承权利取决于遗嘱的具体内容。如果遗嘱中明确规定了私生子的继承份额，那么他将按照遗嘱继承；如果遗嘱没有提及或排除了他的继承权，他仍然可以依据法定继承的规定参与遗产的分配。在处理相关事务时，建议私生子或其法定代理人咨询专业律师（如我），以确保权益得到妥善保护。