美容院发生烧伤事故，责任应由美容院承担，但如果美容师有故意或重大过失，美容院在承担责任后可向其追偿；同时，如果顾客对损害的发生或扩大有过错，也可以减轻美容院的责任。具体分析如下：
一. 美容院承担侵权责任
- 用人单位责任：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。在美容院发生的烧伤事故中，如果是由美容师在操作过程中造成的，那么美容院作为用人单位，应当承担侵权责任。
- 赔偿范围：根据同一法条，侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。造成残疾的，还应当赔偿辅助器具费和残疾赔偿金。
二. 美容师的责任
- 追偿权：美容院在承担侵权责任后，如果美容师有故意或者重大过失，美容院可以向其追偿。这意味着美容师在工作中需要尽到合理的注意义务，避免给顾客造成损害。
三. 顾客的责任
- 过错相抵：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百七十三条，如果被侵权人对同一损害的发生或者扩大有过错，可以减轻侵权人的责任。例如，如果顾客在美容过程中未按照美容师的指导进行配合，导致烧伤事故发生或损害扩大，那么顾客的责任也可以相应减轻美容院的责任。
四. 解决途径
- 协商与调解：根据《中华人民共和国消费者权益保护法》第三十九条，消费者和经营者发生消费者权益争议的，首先可以通过与经营者协商和解或请求消费者协会等调解组织调解来解决。
- 投诉与仲裁：如果协商或调解不成，消费者还可以向有关行政部门投诉或根据与经营者达成的仲裁协议提请仲裁机构仲裁。
- 诉讼：作为最后的解决途径，消费者可以向人民法院提起诉讼，要求美容院承担相应的法律责任。
综上所述，美容院发生烧伤事故时，责任主要由美容院承担，但具体责任分配还需考虑美容师和顾客的行为及过错程度。如有进一步需要，您可以继续咨询我。