当遇到交通事故中伤者不愿意出院的情况时，可以采取以下步骤来合理、合法地解决这一问题：

一、深入沟通与了解

首先，与伤者及其家属进行诚恳的沟通，了解他们不愿出院的具体原因。这可能是因为伤者担心康复不完全、对赔偿有疑虑，或者存在其他个人原因。通过沟通，可以更好地理解伤者的立场和需求，为后续处理打下基础。

二、取得医疗证明与建议

与医院的主治医生详细沟通，了解伤者的具体病情和治疗进展。确保伤者已达到出院标准，并请求医院出具正式的诊断证明和出院建议。这份证明将作为判断伤者是否应当出院的客观依据，有助于后续与伤者的协商和沟通。

三、停止支付不必要的医疗费用

如果确定伤者已达到出院标准却仍坚持不出院，有权停止继续垫付费用。在此之前，应确保已经保留了之前垫付费用的相关凭证，如医疗费用清单、收据等。这些凭证在后续处理赔偿事宜时将起到重要作用。

四、寻求第三方调解

1. 交警部门调解：向负责处理该起交通事故的交警部门说明情况，请求他们从中调解。交警部门具有权威性和协调能力，能够帮助双方达成共识。

2. 人民调解委员会调解：根据相关法律法规，可以申请人民调解委员会进行调解。人民调解委员会是专业的第三方调解机构，能够提供更加专业的调解服务，帮助双方解决纠纷。

五、法律途径解决

如果经过沟通和调解仍无法解决问题，可以考虑通过法律途径来解决。

1. 提起诉讼：向人民法院提起民事诉讼，要求法院对赔偿责任进行判决。在提起诉讼前，应准备充分的证据材料，包括医院出具的治疗证明、垫付费用凭证、交通事故责任认定书等。

2. 医疗鉴定：在伤者坚持不出院的情况下，可以申请进行医疗鉴定。医疗鉴定将确定伤者是否可以出院以及是否需要继续治疗。鉴定结果将作为判定赔偿责任和拒赔过度医疗费用的重要依据。

六、注意事项

1. 保持冷静与理性：在处理此类问题时，务必保持冷静和理性，避免采取过激行为导致矛盾升级。

2. 收集并保存证据：及时收集并保存所有相关证据，包括医疗费用清单、诊断证明、交通事故责任认定书等。这些证据在协商或诉讼过程中将起到关键作用。

综上所述，处理交通事故中伤者不愿意出院的情况需要综合运用多种手段，包括沟通协商、取得医疗证明、寻求第三方调解和法律途径等。在整个过程中，保持冷静与理性至关重要，同时要注重证据的收集和保存，以确保自身权益得到有效维护。通过合理、合法的途径解决纠纷，既能够保障伤者的合法权益，也能够避免不必要的经济损失和法律风险。