在劳动仲裁中，当事人申请仲裁员回避的最迟时间应视具体情况而定，但原则上应在庭审辩论终结前提出。以下是详细解释：

1. 首次开庭前知晓回避事由：

   • 如果当事人在仲裁首次开庭前已经知晓仲裁员存在可能影响公正裁决的情形，应当在首次开庭前以书面或口头形式向仲裁委员会提出回避申请，并明确说明理由。

2. 首次开庭后或仲裁程序中知晓回避事由：

   • 如果回避事由是在仲裁首次开庭后或者仲裁程序进行中才发现的，当事人可以在最后一次开庭终结前提出回避申请。也就是说，在庭审辩论终结之前，当事人仍有权提出回避申请。

3. 特殊情况的考虑：

   • 如果当事人以仲裁员披露的事实或情况为理由要求该仲裁员回避，则应在收到仲裁员的书面披露后一定期限内（如10天内）向仲裁委员会书面提出。这一期限可能因具体仲裁规则而有所不同，当事人应参照相关仲裁规则执行。

4. 逾期提出的后果：

   • 如果当事人未在规定期限内提出回避申请，则其申请回避的权利即归于消灭。逾期没有申请回避的，不得以仲裁员曾经披露的事项为由申请该仲裁员回避。

综上所述，当事人申请仲裁员回避的最迟时间应根据当事人知晓回避事由的具体时间来确定，但无论如何都不应迟于庭审辩论终结前。当事人应当遵循诚实信用原则，及时、合理地提出回避申请，并确保申请理由的充分性和合理性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。