对监督对象构成犯罪的案件，由检察机关依法追究刑事责任，并可能涉及公安机关、监察委员会以及人民法院的参与。
一. 侦查机关及其职责
- 公安机关：负责大部分普通刑事案件的侦查工作，收集证据、查明犯罪事实、查获犯罪嫌疑人。
- 人民检察院：对特定类型的犯罪，如司法工作人员利用职权实施的犯罪进行侦查；对省级以上人民检察院决定立案侦查的案件进行侦查。
- 监察委员会：对涉嫌职务违法和职务犯罪的公职人员进行调查，其收集的证据材料在刑事诉讼中可作为证据使用。
二. 检察机关的刑事追责权
- 检察机关在刑事法律监督活动中，对违法行为必须纠正，对构成犯罪的，必须依法追究刑事责任。对于直接受理的刑事案件，如贪污罪等，检察机关有权行使侦查权，并负责对刑事案件进行审查起诉。
三. 审查起诉与审判
- 人民检察院：侦查机关侦查终结后，认为应当追究刑事责任的案件，会移送至人民检察院。检察院对案件进行全面审查，决定是否向人民法院提起公诉。
- 人民法院：负责刑事案件的审判，根据检察院的指控，依法对案件进行审理，认定被告人是否有罪，并判处相应的刑罚。
四. 法律依据
- 《监察法》第六十三条规定，有关人员违反本法规定，如串供、伪造、隐匿、毁灭证据等，构成犯罪的，依法追究刑事责任。
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，如帮助毁灭、伪造证据罪，妨害作证罪等，都可能涉及对监督对象构成犯罪的案件的刑事追究。
综上所述，对监督对象构成犯罪的案件，会由多个机关共同参与处理，其中检察机关在刑事追责中扮演关键角色，负责依法追究刑事责任。如有进一步需要，您可以继续咨询我。