打架斗殴轻微伤一般不会跨省追捕，但并非绝对。以下是对此问题的详细分析：
结论前置
打架斗殴致人轻微伤，若行为不构成犯罪或行为人未逃避侦查，通常不会被跨省追捕；但若行为涉嫌犯罪（如寻衅滋事罪等），且犯罪嫌疑人在逃，并满足一定条件，则可能会被跨省追捕。
一、不会跨省追捕的情况
不构成犯罪：
- 打架斗殴致人轻微伤，若情节显著轻微，不构成犯罪，仅属于治安案件，由公安机关进行治安管理处罚，如拘留、罚款等。在此情况下，若行为人积极配合调查处理，没有逃避处罚，通常不会被跨省追捕。
构成犯罪但未逃避侦查：
- 若打架斗殴行为涉嫌犯罪（如故意伤害罪轻伤），但犯罪嫌疑人未逃避侦查、起诉、审判等刑事诉讼程序，主动接受司法机关处理，如投案自首并如实交代罪行，一般也不会被跨省追捕。
二、可能会跨省追捕的情况
- 在逃的犯罪嫌疑人：
- 若打架斗殴致人轻微伤的行为已经涉嫌犯罪（如寻衅滋事罪等），且犯罪嫌疑人在司法机关立案后逃避侦查，如逃跑、藏匿等，以逃避法律制裁，根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关可以发布通缉令对其进行通缉，并可能进行跨省追捕。
三、相关法律责任
治安管理处罚：
- 对于不构成犯罪的打架斗殴行为，公安机关将依据《中华人民共和国治安管理处罚法》进行处罚，如拘留、罚款等。
刑事责任：
- 若打架斗殴行为构成犯罪，犯罪嫌疑人将面临刑事责任的追究，可能面临有期徒刑、拘役、管制等刑罚。
民事赔偿责任：
- 无论打架斗殴行为是否构成犯罪，行为人都需承担民事赔偿责任，包括医疗费、误工费、护理费、交通费等费用。
四、建议
- 在发生打架斗殴事件后，行为人应积极配合公安机关的调查处理，如实陈述事实，争取从轻或减轻处罚。
- 若行为人涉嫌犯罪并逃避侦查，应尽快主动投案自首，并如实交代罪行，以争取从宽处理。
- 受害人应及时报案，并保留相关证据，以便公安机关进行调查处理。
综上所述，打架斗殴轻微伤是否会跨省追捕，需综合考虑行为的性质、后果、行为人的态度以及公安机关的决策。因此，在处理此类案件时，应秉持公正、客观的原则，依据相关法律法规进行准确判断。若您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。