行政机关履行法定职责后，通常有义务告知举报人。这一结论可以从以下几个方面进行阐述：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国行政处罚法》等相关法律法规，行政机关在履行法定职责，如调查、处理违法行为等过程中，应当遵循公开、公正、公平的原则。
   • 告知举报人是行政机关履行透明度和公开性原则的重要体现，也是保障举报人合法权益的重要环节。

2. 告知的内容：

   • 行政机关在履行法定职责后，应当告知举报人处理的结果，包括是否立案、调查进展、处理决定等内容。
   • 如果举报人的举报事项涉及个人隐私或商业秘密等敏感信息，行政机关在告知时应当注意保护这些信息，避免泄露。

3. 告知的方式：

   • 行政机关可以通过书面、口头、电子等多种方式告知举报人处理结果。
   • 告知应当及时、准确、完整，确保举报人能够充分了解处理情况。

4. 特殊情况的考虑：

   • 在某些特殊情况下，如涉及国家安全、公共安全等敏感领域，行政机关可能会根据相关法律法规的规定，对告知的内容、方式或时间进行限制。
   • 但这种限制应当是基于法律法规的明确规定，并且是为了保护更大的公共利益而进行的。

综上所述，行政机关在履行法定职责后，通常有义务告知举报人处理结果。这是行政机关遵循公开、公正、公平原则的重要体现，也是保障举报人合法权益的重要环节。如果行政机关未履行告知义务，举报人可以依法向相关部门投诉或寻求法律援助。