当员工违反公司制度并被职能部门罚款时，公司是否有权追责这个问题，主要依赖于几个关键因素：违规事项的严重性、公司内部规章制度的具体内容，以及劳动合同中的相关条款。

首先，从法律的角度来看，如果员工的行为确实违反了公司制度，并且这种违规行为对公司造成了经济损失或名誉损害，那么公司通常有权依据劳动合同和员工手册等内部管理文件来追究员工的责任。这包括但不限于警告、降职、解雇等纪律措施，甚至在某些情况下，公司要求员工承担相应的赔偿责任也是合理的。

然而，公司在行使这些权力时，必须严格遵守法定程序，确保员工的合法权益得到保障。例如，员工应该享有充分的辩护权，公司需要确保在调查和处理过程中公正、公平地对待员工。如果公司的处理措施违反了法律规定，那么员工有权通过法律途径来维护自己的权益。

此外，如果员工的违规行为触犯了刑法，那么公司不仅需要依据内部规章制度进行处理，还需要积极配合执法部门进行调查，并依法承担相应的法律责任。

总的来说，公司在法律和合同许可的范围内，确实有权追究违反公司制度员工的责任。但在实际操作中，公司需要谨慎行事，确保处理措施既合法又合理，以避免引发不必要的法律纠纷和负面影响。同时，员工也应该遵守公司制度，维护公司的利益和声誉。