要证明这个孩子是父亲的合法继承人，主要需要通过户籍记录、亲子鉴定或相关法律文件来证明亲子关系，并进一步确定继承权。具体分析如下：

一. 证明亲子关系

1. 户籍记录：虽然孩子的户口在别人家，但可以尝试从原户籍记录或父亲的户籍档案中查找相关记录，证明孩子与父亲的亲子关系。这可能需要前往当地派出所或户籍管理部门查询。
2. 亲子鉴定：如果户籍记录无法直接证明，可以考虑通过亲子鉴定来科学确认孩子与父亲的生物学关系。亲子鉴定结果具有法律效力，可以作为证明亲子关系的重要证据。
3. 相关法律文件：如果孩子与父亲之间曾经有过法律上的认定，如法院判决书、收养证明等，这些文件也可以作为证明亲子关系的依据。

二. 确定继承权

1. 继承法规定：根据《继承法》的相关规定，子女是父母的第一顺序继承人。只要能够证明孩子与父亲的亲子关系，孩子就依法享有继承权。
2. 继承权公证：为了进一步明确和保障孩子的继承权，可以前往公证处办理继承权公证。这需要提供上述证明亲子关系的证据材料，并按照公证处的程序进行办理。

综上所述，要证明这个孩子是父亲的合法继承人，首先需要证明孩子与父亲的亲子关系，这可以通过户籍记录、亲子鉴定或相关法律文件来实现。其次，根据《继承法》的规定，确认孩子的继承权，并可以考虑办理继承权公证以进一步明确和保障权益。如有进一步需要，您可以继续咨询我。