教师无意推孩子受伤被开除是否违法，需要根据具体情况来判断。以下是对此问题的详细分析：

1. 教师职责与过失判断：

   • 教师在履行教育教学职责过程中，对学生负有教育、管理和保护的职责。
   • 如果教师在正常的教育教学活动中，因疏忽大意或者操作不当（如未注意到孩子位置而无意推倒）导致孩子受伤，这可能构成过失侵权。在这种情况下，教师需要承担相应的民事赔偿责任，但不一定构成违法被开除的充分理由。

2. 开除决定的合法性：

   • 开除教师属于严重的纪律处分，通常需要有明确的违纪事实作为依据。
   • 如果教师的行为并未构成严重违法或违反职业道德，仅仅是因为一次无意中的过失导致孩子受伤，那么学校直接开除教师可能缺乏充分的法律依据。
   • 学校在处理此类事件时，应综合考虑教师的过失程度、平时表现、对孩子伤害的程度以及是否采取了积极补救措施等因素。

3. 法律后果与建议：

   • 如果教师认为学校的开除决定不合法或不公正，可以依法向相关部门或机构提出申诉或诉讼。
   • 同时，教师也应反思自己的行为，加强安全意识，避免类似事件再次发生。
   • 对于受伤的孩子及其家长，教师应积极协商赔偿事宜，以减轻孩子的痛苦和家长的负担。

综上所述，教师无意推孩子受伤被开除是否违法，取决于教师的过失程度、学校的处理方式以及相关法律法规的规定。在具体情况中，需要综合考虑各种因素来做出判断。如果你或你身边的人遇到了类似的问题，建议咨询专业律师以获取更准确的法律意见和帮助。