非法收养孩子的监管部门是县级以上人民政府民政部门。具体分析如下：

一. 监管部门的确定

• 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百零五条，收养应当向县级以上人民政府民政部门登记。收养关系自登记之日起成立。这表明，民政部门是负责收养登记的主要部门，也是监管收养行为是否合法的主要机构。

二. 民政部门在收养中的职责

• 民政部门不仅负责办理收养登记，还依法进行收养评估，确保收养行为的合法性和适当性。
• 对于不符合收养规定的情况，民政部门有权宣告收养关系无效，并撤销登记，收缴收养登记证。

三. 非法收养的处理

• 如前所述，在非法收养的情况下，民政部门将依据相关法律法规进行处理，包括但不限于宣告收养关系无效、撤销登记、收缴收养登记证，以及可能涉及的行政处罚或刑事责任追究。

综上所述，非法收养孩子的监管部门是县级以上人民政府民政部门。他们负责收养登记、收养评估，并对非法收养行为进行监管和处理。如有进一步需要，您可以继续咨询我。