私生子自始即享有继承遗产权。具体分析如下：

一. 私生子享有继承权的法律依据

• 根据《中华人民共和国民法典》第一千零七十一条，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。这一条款明确规定了非婚生子女（即私生子）在法律上与婚生子女享有同等的权利。
• 同时，《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条在列举遗产继承顺序时，明确指出子女包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。这进一步确认了私生子在继承遗产方面的法律地位。

二. 继承权的开始时间

• 继承权并非在某个特定时间点“开始”，而是自被继承人（即遗产的所有者）死亡时开始。对于私生子而言，只要他们符合法律规定的继承人条件，就可以在被继承人死亡后与其他继承人一起参与遗产的分配。

三. 实例说明

• 例如，如果一位父亲去世，他留下了一份遗产。这位父亲有一个婚生子女和一个非婚生子女（即私生子）。根据《中华人民共和国民法典》的规定，这两个子女在法律上享有同等的继承权。因此，在被继承人死亡后，私生子有权与其他继承人一起参与遗产的分配。

综上所述，私生子自始即享有继承遗产权，这一权利并非在某个特定时间点开始，而是自被继承人死亡时即可行使。如有进一步需要，您可以继续咨询我。