第三方派遣员工与用工单位之间不存在直接的劳动关系，而是形成一种特殊的或间接的劳动关系。具体分析如下：

一. 法律关系分析

1. 劳务派遣单位是用人单位：根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十八条，劳务派遣单位是法律上所称的用人单位，负责与被派遣劳动者订立劳动合同，并明确载明被派遣劳动者的用工单位、派遣期限、工作岗位等情况，同时履行用人单位对劳动者的全部法定义务，如支付工资、缴纳社会保险等。
2. 用工单位与派遣员工的关系：用工单位与派遣员工之间并不建立直接的劳动合同关系。但根据实际操作和法律解释，他们之间形成了一种特殊的或间接的劳动关系。这种关系体现在派遣员工在用工单位的指挥和监督下工作，遵守用工单位的规章制度，而用工单位则基于与劳务派遣单位的协议使用派遣员工。

二. 责任与义务划分

1. 劳务派遣单位的责任：作为用人单位，劳务派遣单位需承担与派遣员工签订劳动合同、支付工资、缴纳社会保险、提供福利待遇等全部用人单位的法定义务。
2. 用工单位的责任与义务：虽然用工单位与派遣员工不存在直接劳动关系，但根据《劳动合同法》第六十二条，用工单位仍需承担以下责任与义务：

    - 执行国家劳动标准，为派遣员工提供相应的劳动保护和劳动条件；
    - 告知派遣员工工作要求和劳动报酬；
    - 支付加班费、绩效奖金，并提供与工作岗位相关的福利待遇；
    - 对在岗被派遣劳动者进行工作岗位所必需的培训；
    - 对于连续用工的情况，实行正常的工资调整机制。
   

三. 实际运作及连带责任

• 在实际操作中，派遣员工在用工单位的工作场所内工作，接受用工单位的日常管理和指挥监督。用工单位负责安排、考核派遣员工的工作，确保工作任务的顺利完成。
• 根据相关法律规定，若用工单位给被派遣劳动者造成损害，劳务派遣单位与用工单位在某些情况下需承担连带赔偿责任。

综上所述，第三方派遣员工与用工单位之间形成一种特殊的或间接的劳动关系，这种关系既保证了用工单位的灵活性，又通过法律规范和协议约定确保了派遣员工的合法权益得到保障。我建议在实际操作中，各方应严格遵守相关法律法规和劳务派遣协议的规定，确保各方权益得到充分保护。如有进一步需要，您可以继续咨询我。