执行董事管理公司可以请亲戚任职。关于这个问题，我们可以从以下几个方面进行分析：
一. 法律法规方面
监事和执行董事的任职关系：
- 根据《中华人民共和国公司法》第五十条和第五十一条，股东人数较少或者规模较小的有限责任公司，可以设一名执行董事，不设董事会。执行董事可以兼任公司经理。执行董事的职权由公司章程规定。而关于监事和执行董事的任职关系，法律并没有明确设定近亲属不能同时担任监事和执行董事的限制。
公司法定代表人和执行董事、经理的任职关系：
- 公司法定代表人和执行董事、经理不得兼任监事职位，但公司法定代表人和执行董事、经理可以是同一个人。
监事和股东的任职关系：
- 监事可以是股东，但担任监事一职后不可以担任董事、经理以及财务负责人。
二. 公司章程方面
- 公司的章程可以规定是否允许近亲属同时担任监事和执行董事。如果章程没有做出规定，那么他们就可以担任。
三. 实际操作中的注意事项
- 尽管法律和公司章程可能允许近亲属在公司中担任不同职位，但在实际操作中，还需要考虑到可能存在的利益冲突和道德风险。为了避免这些问题，公司应该建立健全的内部管理制度和监督机制。
综上所述，执行董事管理公司时可以请亲戚任职，但具体是否允许还需根据公司章程的相关规定来确定。同时，公司应该注重建立健全的内部管理制度和监督机制，以确保公司的正常运营和利益最大化。
我的建议：在执行董事管理公司并考虑请亲戚任职时，应先查阅公司章程和相关法律法规，确保符合所有任职条件和程序。如有必要，可以咨询专业律师或法律顾问的意见。