卖淫嫖娼行为会跨省追击。具体分析如下：

一. 卖淫嫖娼的违法性

• 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第六十六条，卖淫、嫖娼是违法行为，将面临十日以上十五日以下拘留，并可处五千元以下罚款；情节较轻的，也将面临五日以下拘留或者五百元以下罚款。这表明，卖淫嫖娼行为一旦被发现，将受到法律的严厉制裁。

二. 跨省追击的法律依据

• 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百五十五条，应当逮捕的犯罪嫌疑人如果在逃，公安机关可以发布通缉令，并采取有效措施进行追捕归案。这意味着，如果卖淫嫖娼的违法行为人逃跑到其他省份，公安机关有权跨省追击，并将其抓捕归案。

三. 公安机关的执法权限

• 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第七十八条和第八十三条，公安机关在受理报案、控告、举报、投案后，认为属于违反治安管理行为的，应当立即进行调查，并对违反治安管理行为人进行传唤和询问查证。这表明，公安机关在发现卖淫嫖娼行为后，有权利和义务进行调查和处理，包括跨省追击和抓捕。

综上所述，卖淫嫖娼行为一旦被发现，公安机关有权跨省追击并将违法行为人抓捕归案。我的观点是，法律的制裁是严厉且不分地域的，任何违法行为都将受到法律的追究。如有进一步需要，您可以继续咨询我。