公司可以开除打架的员工，但必须确保符合特定条件。以下是对此问题的详细分析：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。

2. 具体条件：

   • 规章制度明确规定：公司的规章制度中必须明确将打架斗殴列为严重违纪行为，并作为开除的依据。该规章制度需经过民主程序制定，并已向员工公示或组织培训学习。
   • 打架行为达严重程度：员工打架行为必须达到严重影响公司秩序、生产经营或造成实质性损害的程度。轻微的争执或推搡通常不足以构成开除的条件。例如，员工在公司内部因业务冲突打架，造成恶劣影响，干扰公司正常运营秩序，公司可据此解除劳动关系。
   • 开除程序合法性：公司在开除员工前，应进行充分调查，了解事情经过，听取员工陈述和申辩，并告知其违纪行为和开除理由，给予合理的申辩机会。

3. 特殊情况处理：

   • 若公司规章制度对打架行为的规定不合理，或未按法定程序制定和公示，导致员工不知晓，则公司以此开除员工可能被认定为违法解除劳动合同。
   • 对于情节非常轻微的打架行为，若未对公司造成实质性影响，也不符合规章制度中的开除情形，公司不得贸然开除员工，否则属于违法解除。

4. 经济补偿问题：

   • 若公司依据合法有效的规章制度和程序开除打架员工，则无需支付经济补偿金。
   • 若公司开除行为被认定为违法，则需按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿金。

综上所述，公司在处理员工打架事件时，应谨慎行事，确保处理结果的合法性和公正性。首先，要检查公司规章制度是否完善且合法有效；其次，要对打架行为进行客观评估，判断是否达到严重程度；最后，要确保开除程序的合法性，并给予员工合理的申辩机会。若您在此类问题中遇到困惑或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。