交通事故后私下签订的和解书在一定条件下是具备法律效力的。具体来说：

1. 有效条件：

   • 双方当事人需具备完全民事行为能力，且意思表示真实，不存在欺诈、胁迫等情形。
   • 和解书内容应明确记载交通事故的基本情况，如时间、地点、双方当事人信息等，并详细阐述事故的责任划分，包括双方应承担的责任比例等。
   • 对于赔偿事宜，应明确赔偿项目、金额及支付方式等，且不得违反法律、行政法规的强制性规定，也不可违背公序良俗。
   • 和解书应经双方签字或盖章确认。

2. 法律效力：

   • 若和解书满足上述条件，则通常具有法律约束力，双方应按约定履行义务。
   • 一方不履行和解书约定的义务，另一方可以持和解书向法院起诉，要求对方履行。法院会根据和解书内容及相关证据作出判决。

3. 特殊情况：

   • 若和解书存在重大误解、显失公平或一方受胁迫签订等情形，可能会影响其法律效力。受损害方有权请求法院或仲裁机构撤销和解书。
   • 若和解书签订后，一方发现新的事实或证据，如伤情恶化等，且能证明该事实与交通事故有因果关系，则可能基于新事实起诉要求补充赔偿。

综上所述，交通事故后私下签订的和解书在符合一定条件下是具备法律效力的。但为了确保自身权益，建议在签订前仔细审查各项要素，并在必要时咨询专业律师。如果您在交通事故处理过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。