在家庭矛盾引发的肢体冲突中，若一方导致另一方受轻微伤，法院的判决会综合考虑多个因素。一般来说，此类案件可能涉及治安管理处罚和民事赔偿两个方面。

1. 治安管理处罚：

   • 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》，对于因民间纠纷引起的打架斗殴等违反治安管理行为，情节较轻的，公安机关可以调解处理。经公安机关调解，当事人达成协议的，不予处罚。
   • 若调解不成或情节较重，公安机关将依据相关法律规定对违法行为人给予相应的行政处罚，如罚款、拘留等。

2. 民事赔偿：

   • 受害人因肢体冲突导致的轻微伤，有权要求加害人承担民事赔偿责任，包括医疗费、误工费、护理费、交通费等合理费用的赔偿。
   • 双方可以通过协商或诉讼途径解决赔偿问题。若协商不成，受害人可以向人民法院提起民事诉讼，请求法院判令加害人赔偿损失。

在具体判决时，法院会综合考虑冲突的起因、双方的责任大小、受害人的伤情程度以及加害人的悔过态度等因素。若加害人能够积极赔偿受害人损失并取得受害人谅解，可能会对其从轻或减轻处罚。

总之，在家庭矛盾引发的肢体冲突案件中，法院的判决旨在维护社会秩序，保护受害人的合法权益，同时也鼓励双方当事人通过和解方式解决纠纷。如果您或您的家人遇到此类问题，建议及时咨询专业律师，以便更好地维护自身权益。