私自砍掉树枝可能触犯的罪名及相应的法律责任，主要取决于砍伐的树木性质、数量以及行为人的主观意图。以下是可能的情况及法律分析：

1. 盗伐林木罪：

   • 如果你以非法占有为目的，擅自砍伐国家、集体所有或他人依法承包经营管理的森林或其他林木（包括树枝），且数量较大，可能构成盗伐林木罪。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，此罪行可能面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处罚金；数量巨大或特别巨大时，刑罚将更为严厉。

2. 滥伐林木罪：

   • 若你砍伐的是本单位所有或管理的，以及本人自留山上的森林或其他林木，且未经林业行政主管部门批准并核发采伐许可证，或虽持有采伐许可证但违背其规定，数量较大，则可能构成滥伐林木罪。同样，根据刑法规定，此罪行也将面临相应的刑事处罚。

3. 故意毁坏财物罪：

   • 在某些特殊情况下，如果你砍伐树枝并非以获取木材等经济利益为目的，而是出于恶意报复等动机，且树木（或树枝）的价值达到一定标准，可能构成故意毁坏财物罪。此罪名涉及故意毁灭或损坏公私财物，数额较大或有其他严重情节的行为，也将面临刑事处罚。

4. 行政处罚：

   • 如果你的行为不构成犯罪，但违反了治安管理或林业管理的相关规定，如砍伐的树木价值较小或数量未达到刑事立案标准，你可能面临行政处罚，如罚款、补种树木等。

综上所述，私自砍掉树枝可能触犯多种罪名，具体定罪量刑需依据实际情况和相关法律规定来判定。因此，我强烈建议你遵守法律法规，不要私自砍伐树木或树枝，以免承担法律责任。如果你有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。