刑事案件一审生效后，确实存在申诉的可能性。以下是对您问题的详细解答：
申诉的主体与依据
申诉主体：
- 当事人（即被告人、自诉人、附带民事诉讼的原告人和被告人等）及其法定代理人、近亲属均有权提出申诉。
申诉依据：
- 根据《刑事诉讼法》的相关规定，对已经发生法律效力的判决、裁定，当事人及其法定代理人、近亲属可以向人民法院或者人民检察院提出申诉。
申诉的途径
向作出生效裁判的人民法院申诉：
- 原审法院对案件情况最为了解，能够直接发现并纠正可能存在的错误。
- 申诉后，原审法院会对申诉进行审查，并根据审查结果决定是否启动再审程序。
向作出生效裁判法院的上级人民法院申诉：
- 当认为原审法院可能存在不公正处理或基于复杂因素对原审法院审查申诉存在疑虑时，可以选择向原审法院的上级法院提出申诉。
- 上级法院有权对申诉进行审查，并指令原审法院复查或直接提审。
向人民检察院申诉：
- 人民检察院作为法律监督机关，有权对生效裁判进行法律监督。
- 申诉人可以向与作出生效裁判的法院相对应的同级人民检察院或其上一级人民检察院提出申诉。
- 如果检察院认为生效裁判确有错误，有权按照审判监督程序向法院提出抗诉，要求法院重新审理案件。
申诉的注意事项
准备材料：
- 在提出申诉时，需要准备相关材料，如申诉书、原判决或裁定书、证据材料等，并按照法院或检察院的要求提交。
专业咨询：
- 由于申诉过程涉及复杂的法律程序和法律规定，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和帮助，确保申诉的合法性和有效性。
申诉的时效性：
- 申诉虽然相对上诉来说时间和次数限制较为宽松，但并不意味着没有限制。因此，在决定申诉后，应尽快准备相关材料并提交申诉。
上诉与申诉的区别与选择
区别：
- 上诉是阻止一审裁判生效的途径，有严格的时间限制和次数限制；而申诉是对已生效裁判提出的重新审查请求，时间和次数限制相对宽松。
- 上诉的审查和处理程序较为明确；而申诉的审查和处理程序相对复杂。
选择：
- 在一审后，如果对判决结果有异议，应首先考虑上诉途径。因为这是刑事诉讼中赋予当事人的基本权利，也是保障司法公正和当事人合法权益的重要途径。
- 如果错过了上诉的期限或者上诉被驳回，那么可以考虑通过申诉等途径来进一步维护自己的合法权益。但需要注意的是，申诉的难度通常会比上诉更大，因此需要充分准备相关证据和材料，并咨询专业律师的意见。
综上所述，刑事案件一审生效后，若对判决或裁定不服，当事人及其法定代理人、近亲属可以通过多种途径提出申诉以维护自身合法权益。在选择申诉途径和准备申诉材料时，应充分了解相关法律规定，并寻求专业律师的法律支持。