结论前置：丧偶后，子女的抚养权一般归属于健在的一方。但在特定情况下，如健在一方无抚养能力、存在不利于子女成长的情形或抚养权有争议时，需依法进行妥善处理。
详细分析：
一般情况：
- 父母是未成年子女的法定监护人。在一方丧偶后，另一方自然取得单独抚养权，这是基于父母与子女之间的天然血亲关系以及法律规定。例如，若父亲去世，母亲则自动成为孩子的唯一抚养人。
特殊情况：
- 健在一方无抚养能力：
- 若健在的一方因严重疾病、丧失劳动能力或其他原因无法抚养孩子，如患有重大精神疾病、长期卧床等，此时有抚养能力的祖父母、外祖父母或兄姐等可要求抚养，并负有抚养义务。
- 存在不利于子女成长的情形：
- 若健在的一方存在虐待、遗弃、有严重传染病或其他严重不利于子女成长的情况，其他有监护资格的人（如祖父母、外祖父母等）可以向法院提起诉讼，请求变更抚养权。法院会综合考虑双方的抚养能力、抚养条件以及子女的意愿（若已满八周岁）等因素，作出最有利于子女的判决。
- 抚养权争议：
- 当多个亲属对子女抚养权产生争议时，可以通过协商或诉讼的方式解决。法院将依据相关法律法规，综合考虑双方的经济收入、居住环境、教育背景以及与子女的感情亲密程度等因素，作出公正合理的判决。
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母是未成年子女的法定监护人。一方死亡后，另一方自然取得单独抚养权。同时，法律也规定了其他有监护资格的人在特定情况下可以请求变更抚养权的情形。
实际操作建议：
- 若健在的一方无法独自承担抚养责任，应积极寻求其他亲属的帮助，或考虑将子女送养给有抚养能力的家庭，但必须符合法律法规的规定，并确保子女的权益得到充分保障。
- 在处理抚养权争议时，应尊重法律程序，通过协商或诉讼的方式解决，避免采取过激行为或损害子女利益的行为。
综上所述，丧偶后子女的抚养权归属问题需根据具体情况进行妥善处理。在遵循法律法规的同时，也应注重保护子女的合法权益和身心健康。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。