司法鉴定中心的批准部门是州级司法行政部门。具体来说：

1. 批准与设立：司法鉴定机构的设立，需要由州级司法行政部门进行批准。这些机构具备专业性和权威性，为诉讼活动中的委托人提供鉴定委托服务。在设立过程中，司法行政部门会实施严格的登记制度，编制详尽准确的名册，并对外公布有关信息。

2. 管理与监督：司法行政机关不仅负责司法鉴定机构的批准设立，还负责对其进行后续的登记、名册编制和公告等工作。通过制定相关管理制度和规范执业行为，确保司法鉴定活动合法、有序开展。

3. 多样化归属：值得注意的是，司法鉴定中心的归属情况较为多样。除了部分直接隶属于司法行政部门管理外，还有一些大型医院设立的司法鉴定中心，主要依托医院的专业资源提供服务，并接受卫生健康部门和司法行政部门的双重指导与监督。此外，还有独立的社会司法鉴定机构，它们以市场化方式运营，同样要接受司法行政部门的监管。

综上所述，司法鉴定中心的批准部门是州级司法行政部门，这些部门通过严格的批准和管理程序，确保司法鉴定机构的合法性和专业性。如果你在此方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。