当地方政府规章和部门规章发生冲突时，我们首先需要明确两者的法律地位和效力层级，并依据相关法律法规进行处理。以下是对这一问题的详细解答：
一、法律地位与效力层级
在我国法律体系中，宪法具有最高的法律效力，其次是法律，然后是行政法规、地方性法规、部门规章等。部门规章是由国务院所属部门制定的规范性文件，具有在全国范围内实施的效力；而地方政府规章则是由地方人民政府根据本地实际情况制定的，通常仅在本行政区域内有效。
二、冲突处理原则
上位法优于下位法：
- 部门规章如果是依据法律或行政法规制定的，其效力通常高于地方政府规章。因此，在冲突发生时，原则上应优先适用部门规章。
- 但需注意，如果地方性规章是基于本地特殊情况或实际需要，且不违背上位法基本原则而作出的特别规定，那么在本地范围内，该地方性规章可能具有优先适用的效力。
新法优于旧法：
- 对于同一事项，如果部门规章和地方政府规章在不同时间制定，且内容存在冲突，那么新制定的规章将取代旧的规章。
特别法优于一般法：
- 如果部门规章和地方政府规章针对同一事项但内容有所不同，且其中一个为特别规定，另一个为一般规定，那么特别法的规定将优先于一般法。
三、冲突解决机制
交由国务院提出意见：
- 当地方性规章与部门规章对同一事项的规定不一致时，可以由国务院提出意见。国务院认为应当适用地方性规章的，决定在该地方适用地方性规章；认为应当适用部门规章的，则应提请全国人民代表大会常务委员会裁决。
协商与裁决：
- 在实际操作中，若出现无法直接判断哪个规章应优先适用的情况，或双方对规章适用存在争议，可通过协商、请示上级机关或提请有关机关进行裁决等方式解决。
备案审查程序：
- 我国建立了法规、规章的备案审查制度。如发现地方政府规章与部门规章存在冲突，有关机关和人员可按程序向有审查权的机关提出审查建议，由该机关进行审查并处理。
四、实际应用中的注意事项
- 在处理具体案件时，应结合案件事实和法律条文的具体规定进行全面分析和判断。
- 相关部门在制定和修改规章时，应充分考虑与其他相关法律法规的协调性和一致性，以确保法律体系的统一性和稳定性。
- 当发现地方政府规章与部门规章存在冲突时，制定机关应及时对规章进行修改或废止，以确保法律的适用性和有效性。
综上所述，处理地方政府规章和部门规章的冲突是一个复杂而细致的过程，需要我们综合运用法律知识、法律原则和裁决机制来确保法律的正确适用。