当机关单位在行政复议中败诉时，可以采取以下步骤来妥善处理这一情况：

一、理解败诉结果

首先，要明确行政复议败诉意味着复议机关维持了原具体行政行为，或者改变了原行为但当事人仍不满意。这一结果并不增加对当事人的处罚，但原行政决定依然生效。同时，行政复议、行政诉讼的结果会影响行政机关的行政绩效考核。

二、提起行政诉讼

1. 起诉期限：在收到复议决定书之日起十五日内向人民法院提起诉讼（法律另有规定的除外）。

2. 准备材料：

   • 撰写行政起诉状，明确原告、被告信息，详细陈述诉讼请求、事实与理由。
   • 提交身份证明及收集的相关证据，如复议决定书、原行政行为的相关文书、证明行政行为违法或不合理的证据等。

3. 确定被告与管辖法院：

   • 若复议机关维持原行为，作出该行为的行政机关为被告；若复议机关改变原行为，则复议机关为被告。
   • 复议机关逾期未作决定的，若起诉原行政行为，则原行政机关为被告；若起诉复议机关不作为，则复议机关为被告。
   • 管辖法院通常为最初作出行政行为的行政机关所在地法院；若复议机关改变原行为，也可向复议机关所在地法院起诉。

4. 诉讼流程：

   • 法院接到诉讼后进行立案审查，符合条件的予以受理。
   • 双方当事人在审理过程中进行陈述、辩论。
   • 法院根据事实和法律规定作出判决。

三、考虑其他救济途径

除了提起行政诉讼外，还可以考虑以下救济途径：

1. 申诉：向相关行政机关或其上级机关申诉，反映复议决定存在的错误。但申诉并不必然导致案件重新审查，其效果取决于接受申诉机关的审查和判断。

2. 申请再审：如行政诉讼一审、二审后仍不服，且符合法定条件（如新证据出现、原判决认定事实错误、适用法律错误等），可以申请再审。

3. 再复议（如适用）：在某些特定情况下，可能还可以向上一级行政机关申请再复议，但具体适用条件和程序需根据地区和案件类型确定。

四、注意事项

1. 及时行使权利：遵守法律规定的各种期限，确保在法定期限内提起诉讼或采取其他救济措施。

2. 妥善保存证据：保存好所有与案件相关的证据材料和法律文书，以便在诉讼或申诉过程中使用。

3. 寻求专业帮助：在处理行政复议败诉后的相关事宜时，可以考虑咨询或聘请专业律师提供帮助和指导。

综上所述，机关单位在行政复议中败诉后，应根据具体情况选择合适的救济方式来维护自身合法权益。在整个过程中，保持冷静、理性，并遵守相关法律法规的规定。