打人后同意和解但随后逃跑，这一行为涉及的法律责任需要从多个角度来分析。

首先，明确结论：打人后逃跑，可能构成故意伤害罪、寻衅滋事罪或过失致人重伤罪，具体罪名及刑罚需根据行为人的主观故意、伤害后果及案件具体情况来判断。若打人行为情节显著轻微，未造成轻伤以上后果，则不构成犯罪，但会面临治安管理处罚。

接下来，详细分析：

1. 可能构成的罪名：

   • 故意伤害罪：如果行为人主观上具有伤害他人身体健康的故意，客观上实施了殴打行为并导致他人轻伤以上的伤害后果，之后逃跑，即构成此罪。依据《刑法》第二百三十四条，将面临相应的刑罚。
   • 寻衅滋事罪：若行为人为寻求刺激、发泄情绪等，无事生非，随意殴打他人，且达到情节恶劣的程度，即便逃跑也构成此罪。依据《刑法》第二百九十三条，同样将面临刑罚。
   • 过失致人重伤罪：如果行为人应当预见自己的行为可能造成他人重伤的结果，因疏忽大意没有预见，或者已经预见而轻信能够避免，以致造成他人重伤后逃跑，则构成此罪。依据《刑法》第二百三十五条，将受到法律的制裁。

2. 不构成犯罪的情况：

   • 若打人行为情节显著轻微，没有造成轻伤以上后果，则不构成犯罪。但此行为违反了《治安管理处罚法》，行为人将面临拘留和罚款等行政处罚。

最后，给出建议：

每个案件都有其独特性，具体的法律责任需要根据案件的具体情况来确定。如果涉及此类问题，建议尽快向我咨询，以便获取准确的法律意见和帮助，确保自身权益得到妥善维护。同时，也提醒广大民众，应遵守法律法规，尊重他人的人身权利，避免任何形式的暴力行为。

综上所述，打人后逃跑并不能逃避法律的制裁，正确的做法应该是积极面对并配合公安机关的调查处理。