当行政处罚案件中被处罚主体出现错误时，行政机关可以通过以下途径进行纠正：
一、行政机关主动纠错
自行撤销或变更：
- 行政机关在发现行政处罚决定存在事实认定错误、适用法律错误、程序违法或处罚明显不当时，应主动撤销或变更原处罚决定。
- 撤销或变更决定需经过负责人召集的集体讨论，确保决策的科学性和审慎性。
- 若违法事实仍存在，行政机关应重新履行调查程序，并依法作出新的处罚决定。
处理具体错误类型：
- 对于编号、字迹、日期等轻微错误，行政机关可以正式文件形式进行说明，并重新制作并送达正确的决定书，无需重新履行告知程序。
- 若处罚种类、幅度、适用法律或事实认定有误，或存在程序错误，行政机关需以正式文件撤销原决定书，收回错误决定书，并重新履行调查、告知程序，制作并送达新的决定书。
- 在管辖错误的情况下，行政机关应立即撤销决定书，并将案件移送至有管辖权的部门处理。
二、上级机关责令改正与监督
- 上级行政机关对下级行政机关的行政处罚行为具有监督职责，发现错误时，可责令下级行政机关改正。
- 若下级行政机关未能自行纠正错误，上级机关可对直接负责的主管人员和其他直接责任人员依法给予处分，以确保行政体系内部的监督制约机制发挥作用。
三、行政相对人的救济途径
行政复议：
- 行政相对人若认为行政处罚存在错误，可在知道该行政处罚决定之日起六十日内（法律规定的申请期限超过六十日的除外）向上一级行政机关或法定复议机关提出复议申请。
- 复议机关将对原行政处罚决定的合法性、合理性进行全面审查，并根据审查结果作出撤销、变更、确认违法或维持原决定的复议决定。
行政诉讼：
- 行政相对人也可在知道行政处罚决定之日起六个月内（若先申请行政复议，则为收到复议决定书之日起十五日内；复议机关逾期不作决定的，为复议期满之日起十五日内）向人民法院提起行政诉讼。
- 法院将对行政处罚决定的合法性进行审查，若认为存在错误，将判决撤销或部分撤销处罚决定，并可要求行政机关重新作出行政行为。
四、注意事项与建议
- 行政机关在纠正错误的行政处罚决定时，应确保程序的合法性和正当性，避免对行政相对人的合法权益造成二次伤害。
- 行政相对人在面对行政处罚错误时，应积极运用法律武器维护自己的合法权益，通过行政复议或行政诉讼等途径寻求救济。
- 行政机关应加强对行政处罚决定的内部审查和监督，及时发现并纠正错误，以提高执法水平和质量，减少错误行政处罚的发生。
综上所述，行政机关在发现行政处罚案件中被处罚主体错误时，应主动进行纠正，并遵循合法、公正、公开的原则，充分保障当事人的合法权益。同时，行政相对人也应了解自己的救济途径，积极维护自己的合法权益。