水利施工图审查的组织责任主要由项目建设单位承担。根据相关信息，如《四川省水利厅关于进一步加强水利工程建设项目勘察设计质量管理规范施工图设计文件审查工作的通知》以及德阳市水利局的转发通知，都明确指出了项目建设单位在施工图设计文件审查工作中的首要责任。

具体来说，项目建设单位需要按程序及时组织施工图设计文件的审查工作。这意味着，在水利工程建设项目中，施工图审查的启动、组织和推进，都应当由项目建设单位来负责。同时，也强调了未经审查、经审查未通过或者未落实审查意见的施工图，不得交由施工单位组织实施，这进一步体现了项目建设单位在施工图审查中的关键角色和责任。

此外，市、县两级水行政主管部门也承担着一定的监管责任，它们需要加强对辖区内水利工程建设项目施工图设计文件审查工作的动态监管，确保审查工作的规范性和有效性。但这并不改变项目建设单位作为施工图审查主要组织者的角色。

综上所述，水利施工图审查主要由项目建设单位组织，并承担首要责任。同时，水行政主管部门也需加强监管，确保审查工作的顺利进行和水利工程建设的高质量发展。