生育登记证的审核工作通常由夫妻一方户口所在地或现居住地的乡镇（街道）卫生健康工作机构负责。这些机构会审核申请人提交的生育登记材料，并决定是否发放生育登记证。申请人可以选择在孕后生育前办理生育登记，如果未能在生育前办理，也应在子女出生后及时补办。

在申请生育登记时，通常需要准备以下材料：夫妻双方的身份证或户口簿、结婚证等有效证件。如果未办理结婚登记，则需要持身份证或户口簿。如果登记人的身份证或户口簿等可以调取电子证照，那么可以免予提交纸质材料。对于不在本省医疗机构生育的对象，还需要提交子女的出生医学证明。如果子女已经入户，那么可以提供户口簿作为证明。

申请人可以通过线上渠道进行生育登记的申请，例如在某些地区，可以通过手机APP如“皖事通”进行申请。在填写完相关信息并提交后，生育登记办理机构会进行审核。审核通过后，会形成电子登记凭证，申请人可以实时调取使用，或者选择到全省任一乡镇（街道）卫生健康部门（行政窗口）或居住地村（居）委员会，经核对身份后，打印领取生育登记凭证。

总的来说，生育登记证的审核是由乡镇（街道）卫生健康工作机构负责的，他们会对申请人提交的材料进行审核，并根据审核结果决定是否发放生育登记证。申请人需要准备好相关材料，并按照规定的流程进行申请。