农村土地承包经营权证是由县级以上地方人民政府核发的，这是法律明确规定的核发主体。而具体的发放与管理工作，则通常由县级以上地方人民政府的农业农村（及林业、草原等）主管部门负责。乡（镇）农村经营管理部门在这一过程中扮演初审和上报的角色。
详细来说，其发放流程如下：
材料提交：发包方首先需要将相关材料（如承包合同、土地权属证明等）报送至乡（镇）人民政府农村经营管理部门。
初审与上报：乡（镇）农村经营管理部门收到材料后，会进行初审，确保材料的真实性和完整性，然后将材料上报至县级以上地方人民政府农业农村主管部门。
审核与核发：县级以上地方人民政府农业农村主管部门会对材料进行进一步审核，确认无误后，最终由县级以上地方人民政府颁发农村土地承包经营权证。
由于具体发放流程和管理细节可能因地区而异，建议在实际操作中，根据所在地区的情况，向当地的农业农村、林业等主管部门咨询，或者咨询当地的农村土地承包仲裁委员会，以获取最准确的信息和帮助。