矿山井下使用的特种设备的监管主要依据《中华人民共和国安全生产法》以及《中华人民共和国特种设备安全法》的相关规定。

首先，《中华人民共和国安全生产法》明确规定，涉及人身安全、危险性较大的矿山井下特种设备，必须按照国家有关规定，由专业生产单位生产，并经具有专业资质的检测、检验机构检测、检验合格，取得安全使用证或者安全标志，方可投入使用。这一规定确保了矿山井下使用的特种设备的安全性和可靠性。

其次，《中华人民共和国特种设备安全法》也对特种设备的生产、使用、检验、检测以及监督管理等方面作出了严格规定。该法规定，特种设备是指对人身和财产安全有较大危险性的设备，包括锅炉、压力容器、压力管道、电梯、起重机械等，以及法律、行政法规规定适用该法的其他特种设备。对于矿山井下使用的特种设备，该法也将其纳入监管范围，并要求由应急管理部门依照本法和特种设备安全法的有关规定实施管理。

此外，根据现有的特种设备安全管理体制，负责特种设备安全监督管理的部门主要是各级质量监督部门，但也有一些其他部门对特定领域使用的特种设备安全进行监督管理。在矿山井下特种设备的监管中，应急管理部门扮演着重要角色，负责依照相关法律法规对特种设备进行监督管理，确保其安全使用。

总的来说，矿山井下使用的特种设备的监管依据主要包括《中华人民共和国安全生产法》和《中华人民共和国特种设备安全法》，以及相关的法律法规和规章制度。这些法律法规和规章制度共同构成了矿山井下特种设备监管的法律体系，为确保特种设备的安全使用提供了有力的法律保障。