申请案件监督流程主要涉及到对人民法院执行或诉讼案件的监督申请。以下是一个清晰、详细且有深度的解答，涵盖不同类型的监督申请及其流程：

一、执行监督流程

1. 申请条件

• 当事人、利害关系人对于人民法院的执行复议裁定不服，可向上一级人民法院申请执行监督。
• 若申请人未提出执行异议而直接向上一级法院申请执行监督，法院应告知其先向异议法院提出执行异议。
• 若执行法院在法定期限内未执行，申请执行人可请求上一级法院提级执行、责令下级法院限期执行或指令其他法院执行。

2. 不予受理的情形

• 针对人民法院就复议裁定作出的执行监督裁定再次提出执行监督申请的。
• 在人民检察院对申请人的申请作出不予提出检察建议后又提出执行监督申请的（但因人民检察院提出检察建议而作出执行监督裁定的除外）。

3. 申请期限

• 对执行复议裁定不服的，应在复议裁定发生法律效力后六个月内提出。
• 因超过提出执行异议期限或申请复议期限而申请监督的，应在异议期限或申请复议期限届满之日起六个月内提出。

4. 申请材料与流程

• 申请人需提交执行监督申请书，载明必要事项，如案件所涉法律适用问题的争议焦点、论证裁定适用法律存在错误的理由和依据等。
• 最高人民法院或高级人民法院将根据申请材料决定是否立案审查，并在一定期限内作出决定。

二、行政诉讼监督流程

1. 申请条件

• 当事人认为人民法院的行政判决、裁定、调解书确有错误，或认为再审行政判决、裁定确有错误，或认为行政审判程序中审判人员存在违法行为，或认为人民法院行政案件执行活动存在违法情形，可向人民检察院申请行政诉讼监督。

2. 申请期限

• 一般在人民法院送达驳回再审申请裁定之日或再审判决、裁定发生法律效力之日起六个月内提出。
• 对于特定情形（如新的证据、原生效判决主要证据系伪造等），应在知道或应当知道之日起六个月内提出。

3. 管辖与流程

• 向作出生效判决、裁定、调解书的人民法院所在地同级人民检察院申请。
• 人民检察院将负责控告申诉检察的部门受理申请，并进行审查。

三、注意事项

• 在申请监督前，请确保已充分了解相关法律法规及司法解释的规定。
• 提交申请材料时，请确保材料齐全、准确，并符合法定要求。
• 遵守申请期限，逾期申请可能导致不予受理。

综上所述，申请案件监督流程涉及多个方面，包括执行监督和行政诉讼监督。当事人应根据自身情况和案件类型选择合适的监督方式，并严格按照相关法律法规及司法解释的规定进行申请。