失业人员在领取失业保险金期间如果不幸死亡，其遗属可以享受一定的待遇并处理未领完的失业保险金。以下是对这一问题的详细解答：
一、遗属可以享受的待遇
一次性丧葬补助金：
- 参照当地对在职职工死亡的规定发放，具体标准由各地经济社会发展水平和财政状况等因素确定。通常是按照失业人员死亡时本市上年度城镇在岗职工月平均工资的三倍计发（具体倍数可能因地区而异）。
抚恤金：
- 抚恤金旨在保障由死亡失业人员供养的直系亲属不因供养人死亡而断绝生活来源。其标准同样参照当地对在职职工死亡的规定，一般也是按照失业人员死亡时本市上年度城镇在岗职工月平均工资的一定倍数计发，具体可能与遗属与死者的关系等因素相关。
二、未领完的失业保险金处理
- 失业人员死亡后，其尚未领取的失业保险金将一次性支付给其遗属（法定继承人），而不是由其他家属继承。
三、资金来源
- 上述丧葬补助金、抚恤金以及一次性支付给遗属的未领完失业保险金所需资金，均从失业保险基金中列支。
四、申领流程及所需材料
遗属在申领上述待遇时，需要遵循以下流程并提供相应的材料：
准备材料：
- 遗属本人的身份证明（如身份证、户口本等）。
- 申请人与失业人员的关系证明材料（如户口本、结婚证、亲属关系证明等）。
- 失业人员的死亡证明（如死亡证明书、火化证明等）。
- 其他可能需要的材料，如失业人员的身份证、社保卡等原件及复印件，以及殡仪馆火化发票原件等（具体要求可能因地区而异）。
填写申请表：
- 遗属需按照当地社会保险经办机构的要求填写《失业保险待遇申请表》或相关表格。
提交申请：
- 携带准备好的材料和申请表到当地社会保险经办机构申领相关待遇。注意要按照当地规定的时间和地点进行提交，并确保所有材料齐全有效。
五、注意事项
选择领取：
- 如果失业人员同时符合领取失业保险丧葬补助金、基本养老保险丧葬补助金和工伤保险丧葬补助金条件的，其遗属只能选择领取其中的一项。在选择时要考虑各项待遇的金额和领取条件，选择最适合自己的选项。
停发说明：
- 失业人员在领取失业保险金期间死亡的，失业保险金将自死亡之日起停发。遗属在申领相关待遇时要注意这一点，并确认停发的时间。
综上所述，失业人员在领取失业保险金期间死亡后，其遗属可以依法申领一次性丧葬补助金、抚恤金以及尚未领取的失业保险金。在申领过程中，应严格按照当地社会保险经办机构的具体要求和流程操作，并确保提供真实有效的申请材料。如有任何疑问或困难，可以及时咨询当地社会保险经办机构或相关部门寻求帮助。