结论：在交通事故造成重伤且驾驶人愿意承担全部责任的情况下，双方当事人不可以自行协商处理，而应依法按照相关程序进行处理。

一、法律依据与规定

1. 《中华人民共和国道路交通安全法》第七十条明确规定：“在道路上发生交通事故，造成人身伤亡的，车辆驾驶人应当立即抢救受伤人员，并迅速报告执勤的交通警察或者公安机关交通管理部门。”这一条款确立了驾驶人在交通事故造成人身伤亡时的法定义务，即必须立即报警并等待交警处理，而非自行协商。

2. 《道路交通事故处理程序规定》也指出，虽然机动车与机动车、机动车与非机动车发生财产损失事故，当事人对事实及成因无争议的，可以自行协商处理损害赔偿事宜。但交通事故造成人员重伤，则不属于可以自行协商处理的范畴。这是因为重伤事故涉及复杂的法律责任和赔偿问题，需要交警部门的专业介入和处理。

二、不可自行协商的原因

1. 责任认定复杂性：交通事故责任的认定是一个严谨的法律过程，需要综合考虑多种因素，如道路状况、交通信号、车辆行驶轨迹等。自行协商确定的责任可能因缺乏专业判断和客观依据，在后续的法律程序中不被认可，甚至可能引发更多的法律纠纷。

2. 伤者权益保障：重伤可能会给伤者带来长期的身体伤害和医疗费用支出。自行协商处理可能无法充分保障伤者的合法权益，导致赔偿不足。通过正规的法律程序，伤者可以获得更全面、合理的赔偿，包括医疗费用、残疾赔偿、后续治疗费用等。

3. 法律程序必要性：公安机关交通管理部门需要对事故进行调查和处理，包括现场勘查、证据收集、责任认定等环节。这些程序是确保事故处理公正性和合法性的重要保障，也是维护交通秩序和安全的重要手段。

三、正确处理方式

1. 立即报警：在交通事故造成重伤的情况下，驾驶人应立即报警，并保护现场，积极救助伤者。这是驾驶人的法定义务，也是确保事故得到妥善处理的关键步骤。

2. 配合调查：等待交通警察的到来，并配合相关部门进行事故调查和处理。驾驶人应如实陈述事故经过，提供相关证据和资料，以便交警部门准确认定事故责任。

3. 依法协商或诉讼：在交警或相关部门的监督下，双方当事人可以依法进行协商。如果涉及重大争议或协商不成，当事人可以向交警或相关部门投诉，也可以依法提起民事诉讼，通过法律途径解决纠纷。

四、可能面临的法律后果

如果驾驶人试图自行协商处理重伤事故，可能会面临以下法律后果：

1. 责任划分不清：自行协商可能导致责任划分不清，给后续的法律程序带来困难。如果事故责任无法明确，可能会影响伤者的赔偿请求和驾驶人的法律责任承担。

2. 赔偿不足：自行协商可能无法充分保障伤者的合法权益，导致赔偿不足。如果伤者后续发现赔偿不足，可能会再次提起诉讼或申请仲裁，给驾驶人带来更大的经济压力。

3. 干扰司法程序：如果事故涉及刑事责任，自行协商还可能干扰司法程序的正常进行。驾驶人可能因逃避法律责任而面临更严重的法律后果。

温馨提示：在交通事故造成重伤的情况下，请务必依法报警并等待交警处理。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据你的具体情况，为你提供专业的法律建议和帮助。