第三方派遣员工被辞退时是否有补偿，主要取决于辞退的具体原因和情形。以下是对此问题的详细分析：
一、有补偿的情况
因客观原因退回并解除劳动合同：
- 如果用工单位因经营期限届满不再继续经营、经济性裁员等客观原因将员工退回，且劳务派遣单位因此与员工解除劳动合同的，劳务派遣单位应当向劳动者支付经济补偿。
- 经济补偿计算方式：按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。例如，若劳动者在劳务派遣单位工作了2年3个月，则应获得2.5个月工资的经济补偿。
违法退回与解除：
- 若用工单位无正当理由随意退回劳动者，或劳务派遣单位违法解除与劳动者的劳动合同，劳动者有权获得赔偿金。
- 赔偿金计算方式：赔偿金是经济补偿标准的二倍。即，若劳动者应获得的经济补偿为2.5个月工资，则赔偿金为5个月工资。
劳务派遣合同到期终止且劳务派遣单位不愿意续签：
- 如果是劳务派遣合同到期终止，且劳务派遣单位不愿意续签，那么也需要向劳动者支付经济补偿金，计算方式同上。
未按规定提供劳动保护或条件：
- 若劳务派遣单位未按照劳动合同约定提供劳动保护或条件，导致员工解除劳动合同，单位应支付经济补偿金，计算方式同样按照工作年限来确定。
二、无补偿的情况
过错性辞退：
- 若员工存在严重违反用工单位的规章制度、严重失职给用工单位造成重大损害等过错情形，用工单位将其退回，劳务派遣单位因此解除劳动合同的，劳务派遣单位无需支付经济补偿。
新工作安排拒绝：
- 用工单位将派遣员工退回劳务派遣公司后，如果劳务派遣公司有新的工作安排且工资待遇等不降低，而劳动者拒绝的，这种情况下解除劳动合同，劳动者不能要求经济补偿。
试用期内被辞退且不符合录用条件：
- 如果在试用期内员工不符合录用条件而被辞退，且这一辞退决定是基于合理的评估标准作出的，单位不需要支付经济补偿金。
劳务派遣协议期满终止且无额外损失：
- 劳务派遣协议期满终止，用工单位将派遣员工退回，派遣单位没有继续为员工安排新的工作岗位，但已按照法律规定支付了派遣协议到期的经济补偿（如果有的话），此时不存在额外的辞退补偿。
三、特殊说明与建议
- 月工资的定义：这里的“月工资”是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。若劳动者月工资高于所在地政府公布的上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿标准按此三倍数额支付，且最高不超过十二年。
- 维权途径：若劳动者对辞退补偿存在争议，应先与劳务派遣单位、用工单位进行沟通协商。协商不成的，可以通过劳动仲裁委员会申请仲裁，甚至向法院提起诉讼来维护自己的合法权益。
举例说明：假设小张作为第三方派遣员工，在被派遣到某公司工作1年8个月后，因公司业务调整被退回劳务派遣单位。若劳务派遣单位因此解除与小张的劳动合同，且没有合法合理的事由，则小张有权获得经济补偿。具体计算如下：小张在劳务派遣单位工作1年8个月，其月工资为6000元。则劳务派遣单位应向小张支付的经济补偿为：1.5年（按一年半计算） × 6000元/月 = 9000元。若认定劳务派遣单位属于违法解除劳动合同，则还需向小张支付赔偿金，即9000元 × 2 = 18000元。
综上所述，第三方派遣员工被辞退时是否有补偿，需根据具体情况判断，并依据相关法律法规进行处理。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。