在未约定付款期限的情况下，诉讼时效的起算点一般依据债权人主张权利及债务人反应的不同情况而定，但总体遵循《中华人民共和国民法典》关于诉讼时效的一般规定，即三年诉讼时效期间，并考虑二十年的最长保护期限。以下是对这一问题的详细分析：
一、诉讼时效的基本规定
根据《中华人民共和国民法典》第一百八十八条，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年，自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。法律另有规定的，依照其规定。但是，自权利受到损害之日起超过二十年的，人民法院不予保护，有特殊情况的，人民法院可以根据权利人的申请决定延长。
二、未约定付款期限时的诉讼时效起算
债权人可随时主张权利的情况：
- 若双方未约定付款期限，债权人可随时要求债务人履行付款义务。此时，诉讼时效从债权人第一次向债务人主张权利且债务人明确表示拒绝履行义务时开始计算。例如，债权人向债务人发出催款通知，债务人收到后明确表示不付款，则诉讼时效从债务人明确表示拒绝付款之日起计算。
需要给予合理准备时间的情况：
- 若债务人未明确拒绝，而是表示需要一定时间准备履行，诉讼时效则从该合理准备时间届满之日起算。例如，债务人承诺一个月内付款，则一个月期满后，若债务人仍未付款，诉讼时效从一个月期满之次日起计算。
分期付款或持续履行的情况：
- 对于分期付款的合同或持续履行的债务，诉讼时效期间通常自最后一期履行期限届满之日起计算。这意味着，即使部分款项已到期但未支付，只要整体债务的履行期限尚未届满，诉讼时效就不会开始计算。例如，一份为期三年的租赁合同，约定每年支付一次租金，则诉讼时效从第三年租金支付期限届满之次日起计算。
三、特殊情形的处理
诉讼时效的中止与中断：
- 诉讼时效期间可能因法定事由而中止、中断。例如，在诉讼时效期间的最后六个月内，因不可抗力等障碍导致债权人不能行使请求权的，诉讼时效中止；债权人向债务人提出履行请求、债务人同意履行义务等情形会导致诉讼时效中断，从中断、有关程序终结时起，诉讼时效期间重新计算。
最长保护期限：
- 即使存在诉讼时效中止、中断的情形，自权利受到损害之日起超过二十年的，人民法院也不予保护。这是为了维护法律关系的稳定性和确定性。
四、实际操作建议
及时主张权利：
- 债权人应在合理时间内向债务人主张权利，并保留好相关证据，如催款通知、邮件、短信等，以证明自己曾向债务人主张过权利。
明确付款期限：
- 在签订合同时，双方应尽可能明确约定付款期限，以避免因未约定付款期限而引发的诉讼时效争议。
关注诉讼时效动态：
- 债权人应关注诉讼时效的动态变化，及时采取措施防止诉讼时效过期。例如，在诉讼时效即将到期前，可以向债务人发出催款通知或提起诉讼等。
举例说明：假设甲与乙签订了一份买卖合同，但未约定付款期限。甲在合同签订后一年内向乙交付了货物，但乙一直未付款。甲在合同签订后两年半时向乙发出催款通知，乙收到后表示需要一个月时间准备付款。一个月期满后，乙仍未付款。此时，甲可以向人民法院提起诉讼，要求乙支付货款及逾期利息。诉讼时效从一个月期满之次日起计算，为期三年。
综上所述，未约定付款期限时的诉讼时效起算点需根据具体情况确定。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。