面对肇事司机全责却不肯垫付医药费的情况，您有权要求肇事司机及保险公司承担赔偿责任，包括垫付医药费，并可通过以下途径有效解决问题：
一、法律依据与责任划分
《中华人民共和国民法典》的相关规定：
- 侵权责任承担：根据第一千一百六十五条，肇事司机因过错侵害您的人身权益造成损害，应当承担侵权责任。第一千二百一十三条进一步明确，机动车发生交通事故造成损害，属于机动车一方责任的，先由承保机动车强制保险的保险人在强制保险责任限额范围内予以赔偿；不足部分，由商业险赔付；仍不足或未投保商业险的，由侵权人（即肇事司机）赔偿。
- 赔偿项目：第一千一百七十九条详细列举了赔偿项目，包括医疗费、护理费、交通费等治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入等。
《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定：
- 交强险的先行赔付：第七十五条规定，医疗机构应及时抢救交通事故中的受伤人员，不得拖延。肇事车辆若参加了机动车第三者责任强制保险，保险公司应在责任限额内支付抢救费用。超过限额或未参保、肇事后逃逸的，道路交通事故社会救助基金应先行垫付，并有权向责任人追偿。
二、具体应对措施
与肇事司机及保险公司沟通：
- 尝试与肇事司机直接沟通，明确告知其有垫付医药费的义务，并争取其主动履行。
- 同时，联系肇事车辆的保险公司，了解交强险和商业险的赔付流程，并申请垫付或预赔医疗费用。根据交强险规定，保险公司在交强险责任限额内有垫付抢救费用的义务。
申请道路交通事故社会救助基金垫付：
- 在特定情况下，如肇事方无力垫付或不垫付、交强险不足以支付抢救费用时，可向道路交通事故社会救助基金申请垫付部分或全部医疗费用。
自行垫付并保留证据：
- 如果经济条件允许，您可以先自行垫付医药费，同时保留好所有相关的医疗票据和费用清单。这些证据在后续索赔时将起到关键作用。
通过法律途径追讨：
- 请求交警部门调解：依据《道路交通安全法》，您可以请求公安机关交通管理部门进行调解，以达成赔偿协议。
- 向法院提起民事诉讼：若调解无果或对方拒绝履行协议，您可向法院提起诉讼，要求肇事司机及其保险公司赔偿。诉讼中需提供充分证据，如医疗记录、费用清单、事故认定书等，法院将依法作出判决。
- 申请先于执行：担心对方转移财产或拖延履行的，您可在起诉同时向法院申请先于执行，冻结对方财产或要求其提前赔偿。
三、法律后果与注意事项
法律后果：
- 民事责任：肇事司机全责且未垫付医疗费时，需承担赔偿责任。若因未垫付导致您伤势扩大或死亡等严重后果，还需承担额外赔偿责任。
- 刑事责任：如果肇事司机在交通运输肇事后逃逸或有其他特别恶劣情节，可能面临三年以上七年以下的有期徒刑。若构成因逃逸致人死亡，则可能面临七年以上有期徒刑的刑事处罚。
注意事项：
- 保留证据：务必保存好所有相关证据，以备不时之需。
- 保持冷静：处理过程中应保持冷静理性，避免不必要的争执和冲突。
面对这种情况，您不必过于担心，因为法律为您提供了明确的保障和多种解决途径。如果您在处理过程中遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。