结论前置：第三方派遣员工（即劳务派遣员工）不可以被随便解除劳动合同，用工单位和劳务派遣单位都必须严格遵循法律规定的条件和程序进行劳动合同的解除。
一、法律关系与基本原则
劳动关系与实际用工关系：劳务派遣单位与被派遣劳动者之间建立的是劳动关系，而用工单位与被派遣劳动者之间则形成实际用工关系。因此，用工单位不能直接开除被派遣员工，而是需要通过法定程序将其退回劳务派遣单位。
遵循法定情形与程序：无论是用工单位还是劳务派遣单位，在解除或终止与被派遣劳动者的劳动合同时，都必须严格遵循《中华人民共和国劳动合同法》规定的情形和程序。
二、解除劳动合同的条件
过失性辞退：
- 若被派遣劳动者严重违反用工单位的规章制度、严重失职营私舞弊给用工单位造成重大损害等，符合《劳动合同法》第三十九条规定的情形，用工单位可以将其退回劳务派遣单位，劳务派遣单位可以依法解除与劳动者的劳动合同。
- 具体情形包括：在试用期间被证明不符合录用条件的；严重违反用人单位的规章制度的；严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的；被依法追究刑事责任的。
无过失性辞退与经济性裁员：
- 如用工单位因经营需要依据《劳动合同法》第四十条、第四十一条进行经济性裁员，且在被劳务派遣单位重新派遣时维持或提高劳动合同约定条件而被派遣劳动者不同意的情况下，也可以将其退回劳务派遣单位。但此过程中，用工单位需提供充分的证据和合理的理由。
- 具体情形包括：劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的；劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的；劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的；以及企业重整、生产经营发生严重困难等法定情形。
三、经济补偿与赔偿
经济补偿金：
- 如果被派遣员工无过错而被用工单位退回劳务派遣单位，进而被解除劳动合同，那么根据法律规定，用工单位和劳务派遣单位通常需要向员工支付经济补偿金。
- 经济补偿的具体标准按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
赔偿责任：
- 如果用工单位或劳务派遣单位随意开除被派遣员工，且不符合法定情形和程序，将构成违法解除劳动合同，需要承担相应的法律责任，包括但不限于支付赔偿金。赔偿金的标准通常是经济补偿金的两倍。
四、操作流程与注意事项
退回流程：
- 即使符合退回条件，用工单位也需要按照法定程序将劳动者退回劳务派遣单位。这通常包括提前通知、提供证据、协商等步骤。
避免歧视与保障权益：
- 被派遣劳动者享有与用工单位的劳动者同工同酬的权利。用工单位不得将连续用工期限分割订立数个短期劳务派遣协议，也不得对被派遣劳动者进行歧视性待遇。
法律救济途径：
- 如果被派遣劳动者认为自己的权益受到侵害，可以与劳务派遣单位或用工单位协商解决；协商不成的，可以通过劳动仲裁、诉讼等法律途径维护自己的合法权益。
总结与建议：第三方派遣员工不可以被随便解除劳动合同。用工单位和劳务派遣单位在解除或终止劳动合同时，必须严格遵循法律规定的条件和程序，确保解除或终止劳动合同的合法性和合理性。同时，用工单位和劳务派遣单位也应加强沟通与合作，共同维护双方的合法权益并避免不必要的法律风险。如果您在劳务派遣方面遇到任何法律问题，可以直接向我咨询。