事业单位人员患病并不享有无限期病休的权利。以下是对这一问题的详细分析：
病休期限的法律规定：
- 根据相关法律法规，职工因病或非因工负伤需要停止工作医疗时，根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予三个月到二十四个月的医疗期。这意味着，病休并非无限期，而是有一定的时间限制。
- 具体来说，实际工作年限十年以下的，在本单位工作年限五年以下的为三个月；五年以上的为六个月。实际工作年限十年以上的，在本单位工作年限五年以下的为六个月；五年以上十年以下的为九个月；十年以上十五年以下的为十二个月；十五年以上二十年以下的为十八个月；二十年以上的为二十四个月。
病休期间的待遇：
- 在病休期间，职工的工资待遇会受到一定影响。具体来说，病假工资或疾病救济费可以低于当地最低工资标准支付，但不能低于最低工资标准的80%。
- 此外，如果职工在医疗期内病愈，或者经过劳动能力鉴定机构鉴定为病残到一定程度，无法继续从事原工作，也不能从事用人单位另行安排的工作的，用人单位可以按照国家有关规定提前30日以书面形式通知劳动者本人，解除劳动合同，并依法支付经济补偿金。
特殊情况下的处理：
- 对于某些特殊疾病（如癌症、精神病、瘫痪等），在24个月内尚不能痊愈的，经企业和劳动主管部门批准，可以适当延长医疗期。但这并不意味着可以无限期延长，而是需要经过严格的审批程序。
- 如果职工在医疗期满后仍不能从事原工作或另行安排的工作，用人单位有权解除劳动合同，但应按照相关规定支付经济补偿金和医疗补助费。
实际操作中的建议：
- 对于事业单位人员来说，如果患病需要病休，应及时向单位报告病情，并按照规定提交相关医疗证明。
- 在病休期间，应积极配合治疗，争取早日康复。同时，也应关注自己的权益，确保单位按照规定支付病假工资或疾病救济费。
- 如果对单位的处理有异议，可以及时向劳动争议调解委员会申请调解，或者向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，以维护自己的合法权益。
综上所述，事业单位人员患病并不享有无限期病休的权利。在病休期间，应关注自己的权益和单位的处理规定，确保自己的合法权益得到保障。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。